xcosX求导，过程请详细点

在数学分析中，求导是一种非常重要的运算技巧，它可以帮助我们了解函数的变化趋势和性质。今天，我们就来详细探讨一下函数 \( y = x\cos(x) \) 的求导过程。

首先，我们需要明确的是，函数 \( y = x\cos(x) \) 是一个复合函数，它由两个部分组成：一个是变量 \( x \)，另一个是三角函数 \( \cos(x) \)。因此，在求导时，我们需要使用乘积法则。

乘积法则简介

乘积法则的基本公式是：

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

其中，\( u \) 和 \( v \) 是两个函数，\( u' \) 和 \( v' \) 分别是它们的导数。

在这个问题中，我们可以将 \( y = x\cos(x) \) 看作是 \( u = x \) 和 \( v = \cos(x) \) 的乘积。接下来，我们分别求出 \( u \) 和 \( v \) 的导数。

第一步：求 \( u \) 的导数

令 \( u = x \)，则 \( u' = 1 \)。

第二步：求 \( v \) 的导数

令 \( v = \cos(x) \)，则 \( v' = -\sin(x) \)。

第三步：应用乘积法则

根据乘积法则，我们有：

\[ y' = u'v + uv' \]

将 \( u = x \)，\( u' = 1 \)，\( v = \cos(x) \)，\( v' = -\sin(x) \) 代入公式：

\[ y' = (1)(\cos(x)) + (x)(-\sin(x)) \]

化简后得到：

\[ y' = \cos(x) - x\sin(x) \]

总结

通过上述步骤，我们得到了函数 \( y = x\cos(x) \) 的导数：

\[ y' = \cos(x) - x\sin(x) \]

这个结果表明，函数 \( y = x\cos(x) \) 的变化趋势不仅与 \( \cos(x) \) 有关，还受到 \( x\sin(x) \) 的影响。希望这个详细的推导过程对你有所帮助！