在数学中，根号函数是一种常见的函数形式，通常表示为 \( f(x) = \sqrt{g(x)} \)，其中 \( g(x) \) 是一个关于 \( x \) 的表达式。对于这类函数，确定其定义域是解决问题的第一步。定义域是指使得函数有意义的所有自变量 \( x \) 的取值范围。那么，根号函数的定义域该如何求解呢？

首先，我们需要理解根号函数的本质。根号函数的结果必须是非负数，因为任何实数的平方或偶次幂都不会产生负值。因此，根号内的表达式 \( g(x) \) 必须满足非负条件，即 \( g(x) \geq 0 \)。

接下来，我们通过具体的步骤来求解根号函数的定义域：

1. 分析根号内的表达式：将根号内的部分 \( g(x) \) 视为一个整体，找出使其大于等于零的 \( x \) 值。

2. 解不等式：根据 \( g(x) \geq 0 \) 的条件，解出 \( x \) 的取值范围。这可能涉及到解一元一次不等式、二次不等式或其他更复杂的代数运算。

3. 结合其他限制条件：如果 \( g(x) \) 中包含分母或对数等特殊函数，则还需考虑这些函数本身的定义域限制。例如，分母不能为零，对数函数的真数必须大于零。

4. 综合得出定义域：最终，将所有限制条件合并，得到 \( x \) 的最大允许取值区间。

举个例子，假设我们有函数 \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \)。要找到其定义域，首先需要解不等式 \( x^2 - 4 \geq 0 \)。分解因式后得到 \( (x - 2)(x + 2) \geq 0 \)，利用数轴法可以得出解集为 \( x \leq -2 \) 或 \( x \geq 2 \)。因此，该函数的定义域为 \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)。

总之，求解根号函数的定义域需要仔细分析根号内部的表达式，并结合所有相关的数学规则和限制条件。通过逐步推理和计算，我们可以准确地确定函数的有效定义域。