【正态分布的概率密度函数】正态分布是概率论与统计学中最重要的连续概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学、工程和金融等领域。其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）描述了随机变量在某个特定值附近的概率密度，是理解正态分布特性的基础。
正态分布的概率密度函数由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。该函数具有对称性，且图形呈现钟形曲线，称为“高斯曲线”。正态分布的数学表达式如下：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ x $ 是随机变量的取值；
- $ \mu $ 是分布的均值，表示分布的中心位置；
- $ \sigma $ 是分布的标准差，表示数据的离散程度；
- $ \pi $ 是圆周率，约等于3.1416；
- $ e $ 是自然对数的底，约等于2.7183。
正态分布的概率密度函数特点总结
| 特点 | 说明 |
| 对称性 | 图像关于 $ x = \mu $ 对称，即左侧与右侧形状相同 |
| 钟形曲线 | 曲线呈单峰形态，峰值出现在均值处 |
| 概率密度非负 | 函数值始终大于或等于0 |
| 总面积为1 | 所有 $ x $ 值对应的概率密度积分等于1 |
| 参数影响形状 | 均值决定位置，标准差决定宽度 |
| 68-95-99.7法则 | 约68%的数据落在 $ \mu \pm \sigma $ 内，95%在 $ \mu \pm 2\sigma $，99.7%在 $ \mu \pm 3\sigma $ |
表格：不同参数下的正态分布概率密度函数示例
| 参数 | 概率密度函数公式 | 说明 |
| $ \mu = 0, \sigma = 1 $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} $ | 标准正态分布，常用于统计推断 |
| $ \mu = 5, \sigma = 2 $ | $ f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - 5)^2}{8}} $ | 均值为5，标准差为2的正态分布 |
| $ \mu = 10, \sigma = 3 $ | $ f(x) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - 10)^2}{18}} $ | 均值为10，标准差为3的正态分布 |
通过理解正态分布的概率密度函数，我们可以更好地分析和预测现实世界中的各种随机现象。在实际应用中，常常需要通过样本数据估计均值和标准差，从而拟合正态分布模型，进行假设检验、置信区间计算等统计分析工作。
