在数学中，泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法。这种展开式可以帮助我们更好地理解函数的性质，并在许多实际问题中进行近似计算。本文将详细介绍如何推导出 $\tan x$ 的泰勒展开式。

什么是泰勒展开式？

泰勒展开式的基本形式如下：

$$

f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots

$$

其中，$f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的第 $n$ 阶导数。对于 $\tan x$，通常选择 $a=0$，这样展开式就称为麦克劳林级数。

推导 $\tan x$ 的泰勒展开式

要推导 $\tan x$ 的泰勒展开式，我们需要计算其各阶导数，并将其代入上述公式。

1. 基本定义：

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。

2. 一阶导数：

使用商法则，$\tan' x = \sec^2 x$。

3. 二阶导数：

对 $\sec^2 x$ 求导，得到 $\tan'' x = 2\sec^2 x \tan x$。

4. 三阶导数：

继续对 $\tan'' x$ 求导，得到 $\tan''' x = 2(2\sec^2 x \tan x)' = 2(4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x)$。

5. 更高阶导数：

随着阶数增加，导数表达式会变得更加复杂，但可以通过递归关系继续计算。

6. 代入麦克劳林级数公式：

将各阶导数在 $x=0$ 处的值代入公式，即可得到 $\tan x$ 的泰勒展开式。

结果

经过计算，$\tan x$ 的泰勒展开式为：

$$

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots

$$

总结

通过上述步骤，我们可以系统地推导出 $\tan x$ 的泰勒展开式。虽然过程较为繁琐，但掌握这种方法后，可以应用于其他复杂的函数展开。希望本文对你有所帮助！