【转动惯量公式】转动惯量是描述物体在旋转运动中惯性大小的物理量，类似于平动中的质量。它取决于物体的质量分布以及旋转轴的位置。不同的几何形状和旋转轴会导致不同的转动惯量计算公式。以下是对常见物体转动惯量公式的总结。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 $ I $ 表示，单位为千克·平方米（kg·m²）。其定义式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是质量元，$ r_i $ 是该质量元到旋转轴的距离。对于连续体，则用积分表示：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常见物体的转动惯量公式
| 物体形状 | 转动轴位置 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 均质细杆 | 经过中心且垂直于杆 | $ I = \frac{1}{12} m L^2 $ | $ L $ 为杆长 |
| 均质细杆 | 经过一端且垂直于杆 | $ I = \frac{1}{3} m L^2 $ | $ L $ 为杆长 |
| 均质圆盘 | 经过中心且垂直于盘面 | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | $ R $ 为半径 |
| 均质圆环 | 经过中心且垂直于环面 | $ I = m R^2 $ | $ R $ 为半径 |
| 实心球体 | 经过球心 | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | $ R $ 为半径 |
| 空心球壳 | 经过球心 | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | $ R $ 为半径 |
| 长方体 | 经过中心且沿对称轴 | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | $ a, b $ 为边长 |
三、注意事项
1. 旋转轴的选择：转动惯量与旋转轴密切相关。同一物体，若旋转轴不同，转动惯量也不同。
2. 平行轴定理：若已知物体绕某轴的转动惯量 $ I_{\text{cm}} $，则绕另一条与之平行且距离为 $ d $ 的轴的转动惯量为：
$$
I = I_{\text{cm}} + m d^2
$$
3. 垂直轴定理：适用于薄平板状物体，绕垂直于板面的轴的转动惯量等于绕板面内两个相互垂直轴的转动惯量之和。
四、应用举例
在工程力学、天体物理学、机械设计等领域，转动惯量是分析旋转系统的重要参数。例如：
- 在飞轮设计中，较大的转动惯量有助于储存更多动能；
- 在航天器姿态控制中，合理配置转动惯量可提高稳定性；
- 在体育器材设计中，如乒乓球拍、高尔夫球杆等，转动惯量影响挥动效果。
通过理解转动惯量的概念及其公式，可以更深入地掌握刚体旋转运动的基本规律，并在实际问题中灵活运用。
