在数学和统计学中，几何平均数是一种用于计算一组正数平均值的常用方法。与算术平均数不同，几何平均数在处理具有乘法关系的数据时更为适用，尤其是在涉及增长率、比例变化或指数增长的情况下。

几何平均数的定义是：对于一组正实数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，它们的几何平均数为：

$$

\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}

$$

也就是说，将所有数值相乘后开 $ n $ 次方，得到的结果即为该组数据的几何平均数。这种方法能够更准确地反映数据之间的相对变化，特别是在处理复利、投资回报率或人口增长等场景时。

例如，假设某公司连续三年的年增长率分别为 10%、20% 和 30%，那么其平均增长率就不能简单地用算术平均数（即 $ \frac{10 + 20 + 30}{3} = 20\% $）来表示，因为这忽略了增长的复合效应。而使用几何平均数则可以更真实地反映整体的增长趋势：

$$

\sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 1.30} \approx \sqrt[3]{1.716} \approx 1.20

$$

即平均增长率为约 20%，但这个结果实际上已经考虑了各年的增长叠加效应。

几何平均数的一个重要特性是它对极端值更加敏感，尤其是当某些数值非常小或接近于零时，可能会显著降低整个几何平均数的值。因此，在实际应用中，需要根据具体的数据分布情况选择合适的平均数类型。

此外，几何平均数在金融分析、经济学、生物学等多个领域都有广泛应用。例如，在衡量股票投资组合的长期表现时，几何平均数比算术平均数更能体现真实的收益水平；在生物研究中，它可以用来计算细胞增殖速率或药物浓度的变化率。

需要注意的是，几何平均数仅适用于所有数值均为正数的情况。如果数据中存在零或负数，则无法直接计算几何平均数，或者需要进行适当的调整和处理。

总的来说，几何平均数作为一种重要的统计工具，能够帮助我们更准确地理解和分析具有乘积关系的数据集。在实际应用中，合理选择平均数的类型对于得出科学、合理的结论至关重要。